План
Предмет теоретической механики
Объекты исследования теоретической механики
Сила и системы сил
Момент силы
Пара сил и ее свойства
Скорость, ускорение, импульс
Законы механики Галилея-Ньютона
Предмет теоретической механики
Древнегреческий философ Гераклид своей знаменитой фразой «Все течет, ничто не пребывает неизменным» выразил основную мысль учения о текучести и изменчивость материального мира, окружающего нас. Изменения материи, то есть ее движение, охватывают все явления, которые наблюдаются в природе.
Среди различных видов движений можно выделить некоторые простейшие формы движения материи, сводятся к изменению во времени взаимных положений материальных объектов или их частей. Такие формы движений называют механическими движениями.
Целый комплекс дисциплин, изучающих механическое движение и механическое взаимодействие материальных тел, объединяют под общим названием механика. Термин «механика» впервые ввел Аристотель (384-322 гг. До н.э.). В буквальном переводе с греческого он означает «хитрость», «ухищрения». К таким дисциплинам относятся, например, теория механизмов и машин, гидро- и аэромеханика, небесная механика, механика материалов и конструкций, строительная механика, детали машин, а также немалое количество наук, которые занимаются изучением машин отдельных отраслей промышленности и сельского хозяйства.
Среди различных направлений общей механики особое место занимает теоретическая механика, на основных положениях и выводах которой базируются другие дисциплины механического комплекса.
Теоретическая механика - это наука о наиболее общих законах механического движения любых материальных тел, взаимодействующих между собой в пространстве и во времени.
В данном курсе излагаются элементы классической механики, в основу которой положены определенные постулаты (законы), сформулированы Галилеем и Ньютоном (1687).
По весьма небольшими исключениями классическая механика с высокой степенью точности описывает движение реальных тел в природе и технике. Исключение относятся к движению тел, скорости которых могут быть сравнимыми со скоростью света.
Теоретическая механика в зависимости от того, с какой точки зрения рассматриваются в ней вопросы равновесия и движения физических тел, делится на три части: статику, кинематику и динамику.
Объекты исследования теоретической механики
В качестве объектов исследования теоретическая механика рассматривает материальную точку, абсолютно твердое тело и механическую систему материальных точек или тел.
Материальной точкой называют простейшую модель материального тела любой формы, размерами которого при определенных условиях можно пренебречь и которое можно принять за геометрическую точку, имеет массу.
Постоянная система материальных точек, непрерывно заполняет какую-то часть пространства, называется абсолютно твердым телом.
Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение и движение каждой точки (тела) зависит от положения и движения всех остальных.
Под материальным объектом будем понимать материальную точку, твердое тело или систему материальных точек или абсолютно твердых тел, которые исследуются в данном механическом процессе.
Следует понимать, что материальная точка, абсолютно твердое тело и механическая система является понятиями абстрактными и лишь приближенно отражают реальный мир. Но использование этих абстракций значительно упрощает исследование равновесия и движения настоящих материальных объектов.
Сила и системы сил
Опыт человечества показывает, что состояние равновесия или движения материального тела зависит от его взаимодействия с внешней средой. В теоретической механике рассматривается только механическая взаимодействие, которое влечет за собой изменение характера движения материальных тел, или их деформацию.
Величина, которая является мерой механического воздействия (давление, притяжение, отталкивание) одного материального тела на второе, называется силой.
Понятие силы в механике - основное, первичное понятие. По своей природе сила - величина векторная и потому как всякий вектор определяется модулем (величиной), точкой приложения и направлением в пространстве. Прямая, вдоль которой направлен этот вектор, называется линией действия силы (рис.1).
теоретический механика тело сила
Рис.1
В дальнейшем обозначать силы буквами латинского алфавита со знаком вектора :, а их величины (модули) теми же буквами без отметки вектора, либо с использованием знака модуля: или
За единицу силы в системе СИ принято 1 Ньютон; . Часто используют кратные единицы силы: и.
Системой сил называют совокупность сил, действующих на данный материальный объект. Системы сил могут быть пространственными (отдельные силы системы произвольно расположенных в пространстве) и плоскими (все силы системы действуют в одной определенной плоскости).
Пространственные или плоские системы сил, линии действия которых пересекаются в одной точке (точка схода), называют сходящимися.
Систему, состоящую из сил, обозначают так: или сокращен.
Две системы сил называют эквивалентными, если при замене одной системы сил, действующей на материальный объект, другой системой состояние покоя или характер движения данного объекта не нарушается. Эквивалентность систем сил обозначают следующим образом:
или
Уравновешенной (эквивалентной нулю) системой сил называют такую систему, под действием которой материальный объект не меняет своего состояния покоя или движения по инерции. Обозначения:.
В случаях, когда система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Математически это записывается так:
Проекция силы на ось
Проекцией вектора силы на любую координатную ось называют направленный отрезок, величина которого равна произведению модуля вектора силы на косинус угла, образованного направлением вектора силы с положительным направлением оси.
Так, например, проекция силы на ось (рис.2) определяется из уравнения:
. (1)
Рис.2.
Как можно видеть из этого же рисунка, проекции вектора на параллельные и одинаково направлены оси равны между собой, то есть:
.
Поэтому часто удобнее проектировать вектор на ось, параллельную данной, которая проходит через начало вектора.
Из уравнения (1) следует, что в случаях, когда угол между вектором силы и положительным направлением оси острый, проекция силы положительная, если тупой - отрицательная, а когда сила перпендикулярна оси, то ее проекция равна нулю.
Решение задач теоретической механики с использованием прямоугольной системы координатных осей достаточно часто требует определения проекций векторов (сил, скоростей) на выбранные оси. Поэтому целесообразно обратить внимание на связь между собой величин проекций.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 3
Предположим, что сила находится в плоскости (рис.3) и образует с осью тупой угол, или острый угол ().
Согласно определению проекции силы будем иметь:
или;
;
или.
Таким образом, если при определении величины проекции силы на одну из осей при модуле силы множителем является косинус угла, то величина проекции на другую ось равна произведению модуля силы на синус того же угла.
При определении проекции произвольной системы сил на определенную координатную ось пользуются теоремой векторной алгебры: проекция векторной суммы на координатную ось равна алгебраической сумме проекций составляющих на эту ось. Так, например, проекция системы сил на ось х:
. (2)
В частном случае, когда система сил имеет равнодействующую, ее проекции на оси декартовой системы координат будут выражаться уравнениями:
; ; . (3)
Силу, как и любой другой вектор, можно выразить через ее проекции на оси координатной системы:
,
где - единичные векторы (орты) осей x, y и z соответственно.
Тогда модуль силы будет равна:
. (4)
Косинусы углов, которые образует вектор силы с координатными осями, определяются соотношениями:
. (5)
Пример 1. В твердого тела в точке А приложена система сходящихся сил, расположенных в плоскости хAy. Определить величину и направление равнодействующей этой системы, если угол.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Решение: равнодействующая системы сходящихся сил, а ее проекции на координатные оси Ах и Ау соответственно будут равны:
;
.
Определяем величины проекций заданной системы сил на выбранные оси:
; ;
;
; ; .
Соответственно проекции равнодействующей:
;
.
Из полученных результатов следует, что величина равнодействующей Н; вектор равнодействующей направлен по оси Ах.
Пример 2. Известны проекции на оси координат и равнодействующей плоской системы сходящихся сил и, а также проекции этих сил на те же оси:
,,,.
Определить модуль силы.
Решение. Так как
, А
то проекции искомой силы будут:
,
.
Тогда модуль силы:
.
Момент силы
Одним из основных понятий теоретической механики является понятие момента силы. По опыту своей многовековой практической деятельности человек обнаружила, что под действием силы физическое тело может осуществлять не только поступательное, но и вращательное движения.
Меру механического воздействия силы на тело, которая вызывает вращательное эффект, оценивают моментом силы.
Впервые понятие момента силы ввел в механику Леонардо да Винчи. Однако, еще задолго до него Архимед при решении задачи о равновесии рычага интуитивно пользовался этим понятием.
Векторный момент силы относительно пространственного центра
Вектор-моментом силы относительно произвольного пространственного центра называется вектор, приложенный в этом центре, равный векторному произведению радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы.
Согласно приведенным определением векторный момент силы, которая приложена в точке А относительно центра (рис.4), определяется уравнением:
. (6)
Рис. 4
Модуль вектор-момента, как модуль векторного произведения двух векторов, находят по формуле:
. (7)
Перпендикуляр h, который опущен из центра О (рис.4) на линию действия силы, называют плечом силы относительно центра О. Очевидно, что:
.
Тогда:
. (8)
То есть, числовое значение вектор-момента равна произведению силы на плечо силы относительно выбранного центра. Направленный рисунок момент силы перпендикулярно к плоскости, проходящей через линию действия силы и моментный центр О, таким образом, что с его конца можно видеть стремление силы вращать тело (плоскость ОАВ) против часовой стрелки.
Если начало прямоугольной декартовой системы координат совместить с центром О (рис.4), то для определения вектор-момента силы пользуются также следующим формулам:
(9)
и
, (10)
где: - орты выбранной системы координат;
х, у, z - проекции радиус-вектора на координатные оси (координаты точки А приложения силы)
- Проекции вектора силы на те же оси;
- Проекции вектор-момента силы на оси координат.
Модуль векторного момента и его направление в пространстве при известных проекциях определяют по формулам:
; (11)
(12)
Вектор-момент силы относительно пространственного центра обладает следующими свойствами:
1) момент силы относительно центра не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль линии ее действия;
2) момент силы относительно центра равна нулю, когда линия действия силы проходит через этот центр;
3) момент силы относительно центра является связанным вектором.
Момент силы относительно оси
Моментом силы относительно оси называют алгебраическую величину, равную произведению модуля проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, на кратчайшее расстояние между точкой пересечения оси с плоскостью и линией действия проекции силы.
Так, момент силы, например, относительно оси Oz (рис.4) по определению соответствует формуле:
, (13)
в которой - проекция силы на плоскость Oxy, величина векторная;
- Плечо силы относительно точки О, то есть перпендикуляр, опущенный из точки пересечения оси с плоскостью, на линию действия проекции.
Момент силы относительно оси считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, стремится вращать тело со стороны положительного направления оси против часовой стрелки, и отрицательным - когда сила пытается вращать тело по часовой стрелке.
Из определения момента можно получить такие важные выводы.
1. Момент силы относительно определенной оси не меняется как при переносе точки приложения силы параллельно выбранной оси, так и при переносе центра моментов вдоль этой оси.
2. Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы параллельна оси (в таком случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси).
3. Момент силы относительно оси равен нулю, когда линия действия силы пересекает эту ось.
Поскольку момент силы относительно оси не зависит от выбора точки на оси, то в дальнейшем вместо обозначений будем использовать обозначение или.
Алгебраический момент силы относительно точки плоскости
Представление момента силы относительно пространственного центра в виде вектора вполне соответствует физической сути этого понятия, когда силы расположены в разных плоскостях.
Только при рассмотрении системы сил, которые расположены в одной плоскости, можно пренебречь направлением вектор-момента, а учитывать только его алгебраическое значение.
В случае плоской системы сил векторы моментов сил относительно произвольной точки плоскости действия сил перпендикулярны этой плоскости и, следовательно, параллельны между собой. Поэтому существенным является только величина вектора момента силы, позволяет векторное сложение заменить алгебраическое (рис.5).
Рис. 5
Алгебраическим моментом силы относительно точки плоскости, в которой расположена линия действия силы, называют произведение величины силы на плечо силы, взятый с соответствующим знаком.
В теоретической механике принято, что алгебраический момент силы является положительным, когда сила стремится вращать тело вокруг моментной точки против часовой стрелки и отрицательным - когда по часовой стрелке. Таким образом в общем случае момент силы относительно произвольной точки А плоскости:
. (14)
Например, для плоской системы сил, которые лежат в плоскости xOy (рис.6):
,,,.
Алгебраический момент системы заданных сил в целом равен алгебраической сумме моментов составляющих относительно точки С:
.
Из формулы (14) определение момента силы значит, что алгебраический момент силы относительно точки плоскости равен нулю только тогда, когда линия действия силы проходит через эту точку (плечо h силы равна нулю).
Рис. 6
Пара сил и ее свойства
Парой сил называют систему двух равных по модулю параллельных сил, направленных в противоположные стороны по несовпадающих линиях действия (рис.7).
Рис.7
Пару сил обозначают так:. Плоскость, в которой расположены параллельные силы, называют плоскостью действия пары сил, или, просто, плоскостью пары.
Впервые понятие пары сил - новой абстракции в механике - было введено Пуансо (1777-1859) академиком Парижской академии наук в 1803 г.. В трактате «Начала статики".
Пара сил не образует уравновешенную систему и не имеет равнодействующей. Она не может быть упрощена и потому является особой степени механического воздействия на данное тело со стороны других тел. Опыт показывает, что пара сил, приложенных к твердому телу, стремится предоставить ему определенное вращение. Этот вращательный эффект пары сил оценивается моментом пары сил.
Момент пары сил
Пусть дано пару сил, действующий в плоскости N, расположенной как угодно в пространстве. Вычислим сумму моментов сил и, составляющих пару, относительно произвольного центра О. Соединим начала сил с этим центром радиусами-векторами и. Согласно определению вектор-момента силы (формула 6), будем иметь:
Полученный результат не зависит от положения центра О, в отношении которого определен момент пары сил, то есть вектор-момент сил пары является свободным вектором. В дальнейшем обозначать его через, или сокращенно. Тогда:
. (15)
Таким образом, момент пары сил - это свободный вектор, направленный перпендикулярно к плоскости действия пары в ту сторону, откуда вращение тела под действием пара сил происходит против часовой стрелки (рис.8).
Рис.8
Модуль момента пары сил равен произведению модуля одной из сил пары на плечо пары hn, то есть на самое короткое расстояние между линиями действия сил, составляющих пару:
. (16)
Свойства пары сил
Основные свойства нового элемента теоретической механики и основные правила преобразования этого элемента выходят из формул (15) и (16).
1. Две пары сил эквивалентны друг другу, когда их вектор-моменты равны.
2. Момент пары сил не меняется при:
2.1. произвольном перемещении пары сил в плоскости ее действия без изменения ориентации сил, образующих пару;
2.2. изменении числового значения сил пары и ее плеча без изменения величины момента пары;
2.3. переносе пары сил к любой плоскости, параллельной плоскости действия пары.
3. Несколько пар сил, произвольно расположенных в пространстве, можно заменить одной - результирующей - парой по правилу сложения векторов:
,.
4. Пара сил, действующей на материальный объект, может быть уравновешена только другой парой сил.
5. Проекция пары сил (момента пары сил) на любую координатную ось равна нулю.
Скорость, ускорение, импульс
К основным кинематических понятий теоретической механики, характеризующих движение материальной точки, относятся понятия скорости и ускорения.
Скорость точки - это векторная величина, позволяющая определить как и в каком направлении меняется со временем положение точки в пространстве. Обозначают скорость буквой.
Ускорением точки называют векторную величину, является мерой изменения во времени как по модулю, так и по направлению ее скорости. Для обозначения ускорения пользуются буквами или.
Во втором законе механики Ньютон использовал понятие количества движения, под которым понимал меру механического движения материальной точки, равна произведению массы точки на вектор ее скорости -.
В современной физической литературе термин "количество движения" заменен термином "импульс точки":
.
Законы механики Галилея-Ньютона
Первый закон.Материальна точка, изолированная от действия любых других тел, сохраняет относительно неподвижной системы отсчета состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.
Второй закон. Первая производная по времени от вектора импульса материальной точки по величине и направлению равна вектору силы, действующей на эту точку:
.
Оригинальное формулировка второго закона Ньютона такое: изменение количества движения пропорционально движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.
Третий закон (аксиома равенства действия и противодействия).
Комментариев нет:
Отправить комментарий